By Marc A. Nieper-Wißkirchen
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17) det := n σ∈Sn eine regul¨ are Funktion auf gl(n), also ein Element des Ringes A der regul¨aren Funktionen auf gl(n). 18) bilden, die allgemeine lineare Gruppe in n Dimensionen. 8, daß die R-wertigen Punkte von GL(n) genau die (n × n)Matrizen mit invertierbarer Determinante u ¨ber R sind. Die Sprache der Schemata erlaubt es uns also, u ¨ber die Gesamtheit aller allgemeinen linearen Gruppen gleichzeitig zu reden. 10. Die multiplikative Gruppe ist das affine Schema Gm := GL(1) = Spec Z[x, x−1 ].
Denn ist X = Spec A ein affines Schema, so gilt f¨ ur die Menge der Morphismen nach A1 gerade O(X) := Hom(X, A1 ) = Hom(Z[x], A) = A. 6) Es ist O(X) also gerade der Ring der regul¨aren Funktionen auf X. ¨ Die letzte Bemerkung ist auch in Ubereinstimmung mit anderen geometrischen Theorien. Die Menge der differenzierbaren Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit ist zum Beispiel die Menge der differenzierbaren Abbildungen in die Gerade R. 4. Sei I ein Ideal im kommutativen Ring A mit Eins. Wir u ¨berlegen uns wie Spec A/I aussieht.
3. Der Funktor AffS → SetCRng , X → X(·) ist volltreu, also eine Einbettung von Kategorien. 51 4 Affine Schemata als Z-Funktoren Beweis. Die Aussage der Proposition ist gerade die Aussage des Yoneda-Lemmas in dieser Situation. 7) volltreu ist. 6) u ¨ber. 2 Kategorie der Z-Funktoren Abgesehen davon, daß die Morphismen in die andere Richtung laufen, unterscheiden sie die Kategorien AffS und CRng in keinster Weise. Wenn wir also irgendetwas Neues schaffen wollen, m¨ ussen wir mehr als nur affine Schemata betrachten.
Algebraische Geometrie by Marc A. Nieper-Wißkirchen
by Michael
4.2