Get Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik PDF

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  • February 13, 2018
  • Number Theory
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By Prof. Dr. Ulrich Krengel (auth.)

ISBN-10: 3322935787

ISBN-13: 9783322935786

ISBN-10: 3528572590

ISBN-13: 9783528572594

Dieses Lehrbuch liegt nun in der 6. verbesserten Auflage vor und wendet sich an alle, die - ausgestattet mit Grundkenntnissen der Differential- und Intergralrechnung und der linearen Algebra - in die Ideenwelt der Stochastik eindringen möchten. Stochastik ist die Mathematik des Zufalls. Sie ist von größter Bedeutung für die Berufspraxis der Mathematiker. An vielen Schulen hat sie ihren festen Platz gefunden. Die beiden Hauptgebiete der Stochastik sind Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. In der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht guy zufällige Prozesse mit festen als bekannt angenommenen steuernden Wahrscheinlichkeiten. Dies ist theoretisch und praktisch von eigenständigem Interesse. Darüber hinaus liefert die Wahrscheinlichkeitstheorie Grundlagen für die Statistik, in der aus beobachteten Daten Schlüsse über unbekannte Wahrscheinlichkeiten und über zweckmäßiges Verhalten gezogen werden sollen.

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Waren ursprünglich alle Ergebnisse w E 0 gleichwahrscheinlich, und erhält man nur die Information, dass wEB liegt, so ordnen wir den Ergebnissen aus BC die bedingte Wahrscheinlichkeit 0 zu, und betrachten die Ergebnisse aus B als gleichwahrscheinlich unter der bedingten Wahrscheinlichkeit. Dies bedeutet, dass für jedes A C 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B den Wert P(A B) J erhält. 1) = card(B)/card(O) ergibt sich p(AnB) P(B) . 2). In § 1 hatten wir - zunächst noch relativ vage und ohne Beweis - einen Zusammenhang von Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten angeführt.

W der Name oder die Passnummer der ausgewählten Person sein und X(w) ihr Einkommen. Andere Beispiele wären die Augensumme beim zweifachen Würfeln oder die Anzahl der aus einer Urne gezogenen weißen Kugeln. Gelegentlich interessieren auch Kennzeichen qualitativer Art wie Religion, Augenfarbe usw. 1 Ist (0, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X eine beliebige Menge, so nennen wir eine Abbildung X : 0 -+ X eine X-wertige Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable ist also mathematisch nichts anderes als eine Funktion.

Die Behauptung folgt also aus 2::7=1 P(A i ) -+ 2:::1 P(A i ). Ist Cl =:> C 2 =:> ••• eine fallende Folge von Ereignissen und C ihr Durchschnitt, so gilt P(Ck ) -+ P(C). Dies folgt, indem man die Komplemente Bk = C k und B = ce bildet, wegen P(Ck ) = 1 - P(Bk) und P(C) = 1 - P(B). Man spricht von der Stetigkeit von P für monotone Folgen von Ereignissen. Die bisher bewiesenen Sätze über Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsräumen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit, usw. gelten auch für allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, wie man sich leicht überzeugt.

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