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A1 ; : : : ; at /, wenn (1) aj j m für alle j D 1; : : : ; t, d. h. m ist ein Vielfaches aller aj , und Q für alle j D 1; : : : ; t, so gilt m j m. Q (2) ist m Q 2 Z ein Vielfaches aller aj , d. h. a1 ; : : : ; at / D Qs minfrj;i jjD1;:::;tg iD1 pi (und analog für das kgV mit dem Maximum). a; b/ D ja bj . 0; 0/ D 0. a; b/ D 1. 2 (Euklidischer Algorithmus). Seien a1 ; a2 2 Z und a2 ¤ 0. a1 ; a2 / D an . a1 ; a2 / D u a1 C v a2 mit u; v 2 Z. Die Bestimmung dieser Darstellung bezeichnet man auch als den erweiterten euklidischen Algorithmus.

N; K/, die spezielle lineare Gruppe. 2 Gruppen und Operationen 29 Abb. 3 Eine Drehsymmetrie des Tetraeders Abb. 8. Z; C/ haben die Gestalt nZ WD fn k j k 2 Zg , wobei n 2 Z 0 . Beweis. Mit dem Untergruppenkriterium sieht man sofort, dass nZ Z eine Untergruppe ist. Sei umgekehrt H Z eine Untergruppe. Entweder gilt H D f0g oder es gibt ein kleinstes Element n > 0 in H. Wir zeigen, dass dann H D nZ gilt: Die Inklusion nZ H folgt sofort mit dem Untergruppenkriterium. Sei umgekehrt m 2 H. Division mit Rest liefert eine Darstellung mDq nCr mit 0 Ä r < n und r 2 H.

V/ zusammen mit der Komposition eine Gruppe. Das neutrale Element ist die identische Abbildung id. n; K/ die Gruppe der invertierbaren n n Matrizen. 2 Gruppen und Operationen 27 (4) Sei X eine beliebige Menge. X/ D ff W X ! X j f bijektivg , zusammen mit der Komposition, ist eine Gruppe. Das neutrale Element ist die identische Abbildung id. f1; : : : ; ng/ die Menge der Permutationen von n Elementen, die symmetrische Gruppe. Für schreiben wir auch ! 1 n D . n/ 2 Sn Ein Element von Sn heißt Transposition, wenn es genau zwei Elemente von X vertauscht.