Download e-book for iPad: Theorie de Galois et theorie algebrique des nombres by Skoruppa N.-P.

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  • February 13, 2018
  • Number Theory
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By Skoruppa N.-P.

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Si on ´ecrit pour un OK -id´eal a|a pour a ∈ a on a exactement les deux premi`eres propri´etes en question. Cette id´ee de Dedekind ´etait en fait la naissance de la th´eories des id´eaux dans des anneaux comme on la connait aujourdhui, et les id´eaux doivent leur nom aux nombres “id´eaux” de Kummer. Nous allons ´etudier donc les anneaux de OK . Th´ eor` eme. Tout OK -sous-module de type fini M = 0 du corps de nombre K est un Z-module libre de rang n = [K : Q]. 2. IDEAUX FRACTIONNAIRES 31 En particulier, si n = [K : Q], alors OK = Za1 + · + Zan avec une Q-base a1 , · · · , an de K.

Si ∃x ∈ Z : a ≡ x2 mod p, p |a . si p|a sinon ne d´epend que de a modulo p. Donc elle factorise F∗p → {±1}. Il est facile a` montrer que cette application est donn´e par wn → (−1)n , o` u w est un g´en´erateur du groupe cyclique F∗p . En effet, si a := a + pZ = w n , alors a = (w m )2 pour un m si et seulement si n est pair. En particulier nous remarquons que p· factorise a` un morphisme de groupe, et donc ab p = a p b p pour tous entiers a, b (mˆeme ceux qui sont multiples de p). Th´ eor` eme.

2. IDEAUX FRACTIONNAIRES 31 En particulier, si n = [K : Q], alors OK = Za1 + · + Zan avec une Q-base a1 , · · · , an de K. D´emonstration. Soit a1 , · · · , an une base de K sur Q. Par le lemme pr´ec´edent on peut supposer que les aj sont entiers. Nous allons monter ci-dessous qu’il existe un nombre d = 0 tel que????????????? dOK ⊂ Za1 + · · · + Zan =: M0 ⊂ OK . e. rang(OK ) = n. Soit maintenant mj (1 ≤ j ≤ r) un syst`eme de g´en´erateurs du OK -module M . e. aM ⊂ OK . On a ainsi adM ⊂ aO ⊂ Za1 + · · · + Zan = M0 .

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by Kenneth
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